(۱-۳۹)

از رابطه ( ۱-۳۶) خواهیم داشت:
(۱-۴۰)
بنابراین دامنه های احتمال به صورت زیر ساده می شوند:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۱-۴۱)

(۱-۴۲)

با توجه به اینکه قدرمطلق مجذور دامنه های احتمال مبین جمعیت سیستم در حالت ها و زمان های مختلف است، جمعیت سیستم را در حالت تشدیدی یعنی برای  به دست می آوریم:
(۱-۴۳)

(۱-۴۴)

۱-۳ ساختار هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی
با توجه به اینکه در فصول ۲ و ۳ ، هامیلتونی مؤثر یک سیستم در بحث ها و حل روابط مربوط به شفافیت القا شده الکترومغناطیسی^۱ و گذار های جمعیتی بی درروی رامان ^۲ ( که در آن جمعیت اتمی با تحریک گذار های اتمی سیستم توسط میدان های لیزری تحت شرایط بی دررو به تراز منتخب انتقال می یابد) مطرح خواهد شد، لذا در این بخش نحوه به دست آوردن هامیلتونی یک سیستم دو ترازی را شرح خواهیم داد تا با تعمیم آن به هامیلتونی های سه ، چهار و پنج ترازی ، ساختار و اصول حاکم بر مکانیسم این پدیده ها را تحلیل کنیم.
با کمی دقت در روابط(۱-۱۴) و (۱-۱۵) می توانیم هامیلتونی سیستم دو ترازی را به صورت
(۱-۴۵)

بنویسیم، که در آن  همان فرکانس رابی است. اگر  بردار حالت متناظر با  و  ویژه حالت متناظر با  باشد، رابطه زیر بین این دو بردار حالت برقرار است.
(۱-۴۶)

در رابطه فوق  را به صورت  فرض کرده ایم.
هامیلتونی مؤثر سیستم را می توان با اعمال تبدیل یکانی زیر روی هامیلتونی  ، به دست آورد.

(۱-۴۷)
. Stimulation Raman adiabatic passage ۲ Electromagnetically Induced transparency . ۱
می دانیم که معادله وابسته به زمان شرودینگر با فرض  به صورت زیر است:
(۱-۴۸)
با تلفیق رابطه (۱-۴۶) و (۱-۴۸) ، معادله شرودینگر به صورت

(۱-۴۹)
در می آید. از رابطه فوق نتیجه می گیریم که :

(۱-۵۰)
با ضرب از چپ به طرفین معادله (۱-۵۰) و با توجه به رابطه  خواهیم داشت:
(۱-۵۱)

حال با تعریف هامیلتونی  به صورت

(۱-۵۲)
و با جایگذاری در معادله وابسته به زمان شرودینگر رابطه زیر به دست می آید:
(۱-۵۳)

رابطه فوق در واقع معادله وابسته به زمان شرودینگر با هامیلتونی  است. در نهایت هامیلتونی مؤثر سیستم به صورت

(۱-۵۴)
خواهد بود. با بهره گرفتن از دامنه های احتمال  و  در بخش ۱-۲ معادلات (۱-۴۳ ) ،(۱-۴۴ ) و هامیلتونی مؤثر سیستم دو ترازی نمودار جمعیت بر حسب زمان را برای حالت  رسم می کنیم.
جمعیت
زمان
شکل ۱-۲. نمودار جمعیت بر حسب زمان برای حالت  برا ساس هامیلتونی مؤثر سیستم.
جمعیت
زمان