با جای­گذاری (۳۴۷-) و (۴۹-۳) در (۴۶-۳) اثبات تمام است.∎
:۸-۶-۳نکته
معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر(-۳۳۸)، حالت خاصی از معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر (۴۴-۳)، در است.
:۹-۶-۳قضیه
فرض کنیدکه در آن پارامتر هوموتوپی است. فرض کنید یک عملگر خطی کمکی، یک عملگر غیر خطی، یک تقریب اولیه، و جواب دقیق باشد. هم­چنین فرض کنید B ، تابعی از ، وباشد، که در شرایط زیر صدق می­ کند
B
BN
که در آن . معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر به­ صورت زیر تعریف می­ شود
B
و معادله تغییر شکل یافته مرتبه ام به­ صورت زیر است
(B).
که در آن عملگری است که در (۴-۳۲) و  در(۲۷-۳) ، تعریف شده ­اند.
اثبات
با بهره گرفتن از قضیه (۸-۵-۳)
(B), و بنا بر لم (۱-۶-۳) ، داریم
و اثبات تمام است∎.
:۱۰-۶-۳ نکته
معادلات تغییر شکل یافته مرتبه صفر که در روابط (-۳۲۸)، (۳۳-۳)، ( -۳۳۸)، و (۴۴-۳) به آن­ها اشاره شده است همگی حالات خاصی از معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر (-۳۵۰) می­باشند. همان­گونه که لیائو در کتابش به این موضوع اشاره کرده است تا کنون معادله تغییر شکل مرتبه صفری که بهتر از بقیه باشد شناخته نشده است و معادله تغییر شکل مرتبه صفر که در(۲۸-۳) به آن اشاره شده است بیشتر مورد استفاده قرار می­گیرد و ضمانت کارایی آن به درست انتخاب کردن عملگر خطی و تابع کمکی ،و پارامتر کنترل همگرایی وابسته است. تنها نکته باقی مانده چگونگی انتخاب مناسب برای مولفه­های به­کار رفته در روش این مقادیر می­باشد، که در ادامه بحث مورد بررسی قرار می­گیرد.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۷-۳: روش آنالیز هوموتوپی برای معادلات دیفرانسیل جزئی
به منظور تشریح روش آنالیز هوموتوپی معادله دیفرانسیل زیر را در نظر می­گیریم

که در آنN عملگر غیرخطی است که بر عمل می­ کند.
با نوشتن شکل معادله^ء تغییر شکل یافته هوموتوپی، می­توانیم به معادله^ء زیر برسیم. تا­کنون شکل­های متعددی توسط لیائو و دیگران برای حل معادلات ارائه گردیده است، در این­­جا سعی بر آن است که ساده ترین و کامل ترین شکل ارائه گردد

همان­طور که قبلا اشاره شد p پارامتر هوموتوپی است که مقدار آن از ۰ تا ۱ تغییر می­ کند. عملگر خطی است که به­ طور دلخواه انتخاب می­ شود. انتخاب عملگر خطی باید منطقی و طبق معادله باشد. مثلاًٌ هنگامی­که معادله دیفرانسیل انتگرالی داریم نباید صورت دیفرانسیلی برای عملگر خطی انتخاب نمود، واضح است که انجام چنین عملی باعث می­گردد که جواب معادله به­ طور کلی واگرا شود. انتخاب بعدی انتخاب مناسب تابع u₀ می­باشد. تابعu₀ از آن­جا حائز اهمیت است که شکل کلی جواب را مشخص می­نماید. مثلاً با انتخاب u به شکل تابع نمایی می­توان جواب­هایی به­ صورت نمایی داشت و یا می­توان با انتخاب توابع مثلثاتی به جواب­های مثلثاتی رسید که معمولاً برای جواب­های متناوب به­کار می ­آید.
جواب معادله^ء هوموتوپی (۵۴-۳) به صورت  است. از معادله تغییر یافته^ء هوموتوپی کاملاً مشهود است که مقادیر تابع هوموتوبی به­شکل زیر هستند

پس نتیجه می­گیریم که با افزایش p از ۰ تا ۱ مقدار φ از حدس اولیه به جواب دقیق مساله می­گراید. بسط مک لورن  رابر حسب p می­نویسیم

اگر تابع اولیه و عملگر خطی درست انتخاب شده باشند و هم­چنین مقدار h نیز مناسب باشد آن­گاه می­ شود گفت که جواب مساله در p=1 به جواب دقیق میل می­ کند و جواب به­ صورت زیر است

با m بار مشتق­­گیری از دو طرف معادله هوموتوپی (۵۴-۳) ، صورت تغییر یافته^ء هوموتوپی مرتبه m به­دست می ­آید که به شکل زیر می­باشد
که در آن
و

با انجام یک سری محاسبات بازگشتی می­توان از مقادیرu₀ و ، توابع  را با بهره گرفتن از عملگر­های خطی و معادلات ساده شده خطی به­دست آورد .
۳-۸ : روش آنالیزهوموتوپی
ابتدا یک هوموتوپی با کمک تقریب اولیه و پارامتر کمکی و تابع کمکی می­سازیم
H
رابطه(۵۵-۳) ، نسبت به رابطه (۲-۳) خیلی کلی­تر است. چون اگر انتخاب کنیم رابطه (۲-۳) حالت خاصی از (۵۵-۳) می شود. لذا داریم
HH
جواب از معادله زیر به­دست می ­آید
H
رابطه (۵۶-۳) به پارامتر ، تابع کمکی ، و پارامتر کمکی بستگی دارد.
:۱-۸-۳معادله تغییر شکل یافته مرتبه صفر